返品申請を開き、未返金の項目で「取引を処理する」>「返金済みとしてマークする」をクリックした場合、Shopify経由で自動で返金処理は行われますか？

いいえ、上記操作を行なっても、Recustomer上のステータスが、返金済みに変更されるのみで、実際のShopifyへの返金処理は行われません。

手動でShopify側で返金処理を行なっていただく必要がございます。